Sebuah perahu melintasi sungai dengan kecepatan tertentu.
Gambar 3.23 Perahu menyeberangi sungai
Menurut Anda apa yang akan terjadi pada lintasan kapal jika:
A. Debit aliran sungai nol, dan
B. laju aliran sungai tidak nol?
Gambarkan lintasan perahu untuk dua kasus berbeda ini.
Anda dapat melakukan kegiatan sederhana dengan menyediakan kertas A4 atau
berbagai ukuran dan perahu kertas yang diikat dengan tali. kertas
mengalir, jadi jika arus aliran tidak nol, kertas harus dipindahkan bersama
dengan kapal. Perhatikan bahwa arah pergerakan arus sungai tegak lurus dengan pergerakan perahu.
Kedua soal di atas merupakan soal penjumlahan vektor. total
Vektor berbeda dengan penjumlahan skalar. Hasil penjumlahan vektor disebut
sebagai vektor yang dihasilkan.
Jika ditambahkan 2 kg gula dan 3 kg gula, berapakah hasilnya? Pasti 5kg.
Apa yang terjadi jika perpindahan 2m ditambahkan dengan perpindahan 3m?
Seseorang berjalan 2m ke timur dan kemudian 3m ke barat akan mendapatkan hasil yang berbeda
Pergi ke timur 2m lalu ke timur lagi 3m.
Mari berpikir kritis
Menurut Anda apa perbedaan antara penjumlahan skalar dan penjumlahan?
Vektor?
Menarik bukan, penjumlahan vektor? Ayo, Anda belajar lebih banyak.
Bab 3 | Vektor dan operasinya 83
A. Penjumlahan dua vektor menggunakan metode segitiga
Penambahan vektor dapat dilakukan dengan bebas. Vektor pertama berakhir
memenuhi asal vektor kedua. Hasilnya adalah vektor dengan basis vektor
pertama dengan ujung vektor kedua. Bentuk penjumlahan adalah segitiga.
AB + BC = AC = a + b
Gambar 3.24 Penjumlahan vektor menggunakan metode segitiga
Penjumlahan vektor mengikuti hukum komutatif a + b = b + a
Gambar 3.25 Sifat komutatif penjumlahan vektor
mari kita coba
Tunjukkan bahwa A + B = B + A.
B. Penjumlahan dua vektor dengan metode jajaran genjang
Penambahan vektor terkait dengan bentuk jajaran genjang.
A
B
Gambar 3.26 Penjumlahan dua vektor menggunakan metode jajaran genjang
84 Matematika Kelas X SMA/SMK
Contoh tugas: Tambahkan dua vektor berikut
Gambar 3.27 Contoh penjumlahan dua vektor dengan metode jajaran genjang
Penambahan dua vektor juga dapat berbentuk persegi panjang.
mari kita coba
Tunjukkan juga penjumlahan vektor ini menggunakan metode jajaran genjang
memenuhi hukum komutatif.
Mari berpikir kreatif
Jika ada tiga vektor, bagaimana cara menjumlahkannya menggunakan metode penyelarasan?
Jajaran genjang?
C. Penambahan mit der Polygonmethode
Hukum komutatif juga berlaku untuk penjumlahan lebih dari dua vektor. Karena
Vektor hanya ditentukan oleh panjang dan arah perpindahannya
frei.
Penambahan grafik selalu terjadi melalui ujung vektor sebelumnya
Setelah itu, tekan basis vektor.
Bab 3 | Vektor dan operasinya 85
Gambar 3.28 Penjumlahan vektor menggunakan metode poligon
Penambahan vektor juga memenuhi hukum asosiatif.
B
A A + B B + C C A + (B + C) = (A + B) + C
R
Gambar 3.29 Hukum asosiatif penjumlahan vektor
Ayo kerja sama
Bentuklah kelompok beranggotakan 4 orang. Setiap anggota membuat satu
vektor yang berbeda. Buat berbagai cara untuk menambahkan
empat vektor yang berbeda.
D. Penjumlahan vektor dengan komponen
Selain secara grafis, vektor juga dapat ditambahkan sebagai komponen.
86 Matematika Kelas X SMA/SMK
Gambar 3.30 Penjumlahan menurut komponen
AC + AB = (–3 3) + (4 2) = (1 5)
Menambahkan dengan komponen dan secara grafis memberikan hasil yang sama.
1. Bisakah Anda melakukan penjumlahan vektor secara gratis?
2. Bisakah Anda melakukan penjumlahan vektor dengan penjumlahan?
komponennya?
2. Pengurangan Vektor
Gambar di bawah menunjukkan permainan Angry Birds. Perhatikan objek bergerak
terlontar dari ketapel.
Gambar 3.31 Spiel Angry Birds
Itu: https://indianexpress.com/
Bab 3 | Vektor dan operasinya 87
Salah satu kekuatan game ini adalah pergerakan objek di dalam game.
Game, khususnya, menggunakan konsep vektor dan operasinya dalam pembuatannya
Pindah dari satu tempat ke tempat lain.
Eksplorasi 3.5 menentukan pengurangan vektor
mari kita jelajahi
Monyet di posisi (3, 4) mengambil pisang yang ada di dalamnya
posisi (2, 1). Gambar vektor posisi monyet, vektor posisi pisang, dan vektor
Gerakan monyet mengambil pisang. Gunakan kertas grafik.
Berapa vektor perpindahan monyet dalam satuan i dan j?
Bagaimana hubungan antara vektor posisi monyet, vektor posisi pisang, dan
Vektor perpindahan monyet dalam operasi vektor?
Dari eksplorasi ini Anda akan belajar bahwa vektor juga dapat dikurangkan
jumlahkan. Hasil pengurangan vektor disebut vektor yang dihasilkan.
Lihatlah contoh operasi pengurangan vektor dalam game untuk mencari tahu
jarak antara orang dan rumah jika vektor posisi orang dan rumah diketahui.
Gambar 3.32 Pengurangan vektor dalam game
Salah satu cara untuk memecahkan masalah pengurangan vektor dengan cara ini
lihat Gambar 3.33 di bawah ini. Arah vektor OB berlawanan dan dibuat
ditambahkan ke vektor OA.
Gambar 3.33 Pengurangan dua vektor
88 Matematika Kelas X SMA/SMK
Pengurangan vektor dapat dilakukan dalam komponen. Pertimbangkan dua vektor
di bawah.
Gambar 3.34 Pengurangan komponen dua vektor
AB – AC = AB + (–AC) = (4 2) + (3 –3) = (7 –1)
A.Vektor Nol
Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol dan tidak memiliki arah
Vektor dengan titik awal dan akhir yang sama. Vektor nol diwakili oleh titik
anggun.
Jika Andi berjalan 100 m ke timur kemudian 100 m ke barat, maka Andi
mengalami pergeseran 0.
1. Bisakah Anda melakukan pengurangan vektor secara gratis?
2. Bisakah Anda melakukan pengurangan vektor dengan pengurangan?
komponennya?
3. Perkalian skalar dengan vektor
Eksplorasi 3.6 Perkalian skalar dengan vektor
mari kita jelajahi
Anda menggambar garis lurus melalui tanda bintang di dekat B, U, dan R. Ukur panjangnya
Jalur BR, BU, dan UR.
Bab 3 | Vektor dan operasinya 89
DANAU BALI
Selat Bali RU
B
Jalan JAWA Badung
Selat Lombok
Samudera Hindia
Gambar 3.35 Peta Pulau Bali
Itu: https://moondoggiesmusic.com/peta-bali/#gsc.tab=0
mari berdiskusi
1. Nyatakan panjang vektor BU dan UR dalam satuan BR.
2. Apa kesamaan ketiganya?
Pernahkah Anda memperhatikan vektor migrasi Palimanan ke Peyagan (vektor PG)?
merupakan gabungan dari vektor pergeseran Palimaman-Kanci (vektor PK) dan vektor
Bewegung von Kanci-Pejagan (KG-Vektor).
Vektor PK = vektor PG, maka vektor KG = vektor PG.
Vektor KP = vektor PG dan vektor GK = vektor PG.
Abbildung 3.36 Palimanan – Pejagan
Itu; https://www.viva.co.id/arsip/262958-para-penguasa-tol-trans-jawa
Sebuah vektor dikalikan dengan skalar positif menghasilkan vektor panjang
anders.
90 matematika untuk Kelas X SMA/SMK
Sebuah vektor dikalikan dengan skalar negatif menghasilkan vektor panjang
dapat memiliki arah yang berbeda dan berlawanan.
Gambar 3.37 Perkalian skalar dengan vektor
Ayo kerja sama
Membuktikan perkalian skalar dengan vektor secara grafis (pada kertas kuadrat)
dan komponen memberikan hasil yang sama. Pertama pilih vektor
lebih awal. Setiap anggota dapat memilih skalar yang mereka inginkan.
1. Bisakah Anda melakukan perkalian skalar dengan vektor secara gratis?
2. Bisakah seseorang melakukan perkalian skalar dengan menggunakan vektor
melipatgandakan bagian-bagiannya?
Latihan 3.5
1. Perhatikan dua vektor berikut.
A. Gambarkan 2A c. Gambarkan 2A + 3B
B. Gambarkan 3B
2. Buatlah dua titik A(3, 2) dan B(–6, 8) dalam sistem koordinat Cartesian.
A. Gambarkan vektor posisi OA dan OB.
B. Gambarkan hasil pengurangan vektor OB dengan OA.
C. Kurangi dua vektor yang berisi vektor kolom.
3. Perhatikan gambar vektor di bawah ini. Bekerja dengan vektor
grafis dan komponen. Gunakan kertas kisi untuk operasi vektor
grais Tentukan juga panjang vektor hasil penjumlahan.
Bab 3 | Vektor dan operasinya 91
A. EF + GH d. EF - GH + 2 CD
B.2 EF - GH z. EF + GH + CD + AB
C.EF + GH + CD f. EF – 3GH – CD
4. Lihat peta Papua di bawah ini.
A. Gambar vektor Jayapura-Wamena yaitu JW dan vektor Jayapura-Nabire
yaitu J.N.
B. Gambarkan pengurangan vektor JW dengan vektor JN.
Latihan 3.6
1. Jika vektor a = (x1 y1) dan b = (x2 y2) tunjukkan bahwa a + b = b + a
2. Mengapa metode jajaran genjang termasuk dalam metode penjumlahan?
Vektor?
92 Matematika Kelas X SMA/SMK
Mari berpikir kritis
3. Buktikan bahwa garis lurus A, B dan C terletak pada garis yang sama dengan menunjukkan
bahwa AB dan BC sejajar. Tentukan terlebih dahulu titik A, B, dan C.
4. Tentukan panjang vektor yang dihasilkan.
5. Buatlah 3 vektor a, b, dan c pada kertas persegi.
Gambarkan hasil 2a + b -2c.
Mari gunakan teknologi
Anda dapat menggunakan aplikasi GeoGebra untuk melakukan operasi
Vektor. https://www.geogebra.org/
Relaksasi
1. Bagaimana Anda mengekspresikan vektor?
2. Berapa banyak cara untuk menyatakan arah?
3. Apa yang dimaksud dengan vektor ekivalen?
4. Bagaimana cara membuat vektor dalam sistem koordinat?
5. Bagaimana cara menentukan vektor pada sistem koordinat?
6. Ada berapa jenis vektor?
7. Apa sifat-sifat penjumlahan vektor?
8. Bagaimana cara melakukan penjumlahan vektor?
9. Bagaimana pengurangan vektor dilakukan?
10. Bagaimana cara perkalian skalar dengan vektor?
Bab 3 | Vektor dan operasinya 93
uji kompetensi
1. Sebuah vektor berakhir di A(3,-6,0) dan berawal di B(5,0,8).
Nyatakan vektor AB dalam komponen-komponennya dan tentukan panjangnya
Vektor.
2. Dapat dibangkitkan dengan menjumlahkan dua vektor dengan besaran yang berbeda
Apakah vektornya nol?
3. Dapat dihasilkan dengan menambahkan tiga vektor dengan ukuran berbeda
Apakah vektornya nol?
4. Anda bersepeda ke utara dengan kecepatan 2 m/s. Angin berhembus
selatan dengan kecepatan 0,4 m/s. Ke arah mana Anda bergerak dan seberapa banyak
kecepatan?
5. Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambarlah secara grafis dan kenali komponen-komponennya
2CD + AB - 3EF - 2GH.
Gunakan kertas kisi untuk menggambar.
94 Matematika Kelas X SMA/SMK
Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset dan Teknologi Bab
Republik Indonesia, 2021
Matematika untuk Kelas X 4 SMA/SMK
Autor: Dicky Susanto, et al
ISBN: 978-602-244-526-5
Perbandingan
Trigonometri
pengalaman belajar
Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan
mungkin:
1. Beri nama sisi-sisi segitiga dengan tepat
dengan sudut segitiga.
2. Terapkan rasio trigonometri
untuk mencari panjang sisi segitiga
tidak diketahui.
3. Bukti sinus dan kosinus a
Sudut dalam segitiga siku-siku adalah rasio,
tidak ada nilai tetap.
4. Jelaskan mengapa nilai dari
perbandingan trigonometri suatu sudut
selalu bisa sama dan bisa dihitung dengan
Kalkulator.
5. Buktikan sinus dan kosinus sudut tersebut
Suplemen memiliki ukuran yang sama.
6. Mencari solusi untuk masalah sehari-hari
Beri tag dengan menerapkan perbandingan
Trigonometri (sin θ, cos θ, tan θ).
Bab 1 | Eksponen dan logaritma 95
Alat pada gambar 4.1 disebut heodolit dan
adalah salah satu alat yang paling penting yang digunakan oleh
Pengukur tanah. Dengan alat ini, surveyor bisa
Temukan tingkat ramp, ketinggian a
Bar dan bahkan gedung pencakar langit yang tinggi!
Penggunaan heodolite ini dalam kehidupan sehari-hari
Tag menggunakan penerapan konsep perbandingan
Trigonometri.
Gambar 4.1 Trigonometri adalah studi tentang pola yang bermakna
tentang hubungan antara sudut dan sisi segitiga.
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani trigono yang berarti
artinya segitiga dan metri artinya ukuran.
Dalam Bab 4 Anda akan belajar tentang jenis-jenisnya
perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
siku dan memecahkan masalah matematika
dalam kehidupan sehari-hari dengan prinsip
perbandingan trigonometri.
Gambar 4.2 Penggunaan
heodolit
suwichan/pixaby.com
Pertanyaan Kata Kunci Pengapian
Perbandingan trigonometri, • Apa hubungan antara sisi dan sudut?
Rasio / segitiga siku-siku?
rasio, sisi miring
(sisi miring), sisi berlawanan, • Menerapkan rasio trigonometri
Sisi, sinus, kosinus, di semua kemungkinan segitiga?
Tangen, θ (Theta).
• Mengapa perbandingan trigonometri
berguna?
• Apa yang dapat dilakukan oleh masalah sehari-hari
dan tidak dapat diselesaikan dengan
perbandingan trigonometri?
96 Matematika Kelas X SMA/SMK
Peta konsep untuk menggunakan sinus
dan kosinus
menggunakan
Perbandingan sudut khusus
Trigonometri Perbandingan trigonometri
Nama halaman trigonometri
Segiiga hari demi hari
Perbandingan
Trigonometri komparatif
Tangen trigonometri
Penggunaan Komparatif
Tangen trigonometri
Mari kita ingat
Agar siap mempelajari perbandingan trigonometri, B
Anda harus ingat teorema Pythagoras, yang mana
berlaku untuk segitiga siku-siku. C
A
Pada segitiga siku-siku
persamaan berikut muncul: Dari C
a²+b²=c2
Gambar 4.3 Teorema Pythagoras
Anda juga perlu mengingat rasio (perbandingan).
Apa itu rasio atau nilai komparatif?
R Ratio adalah nilai/angka yang menjelaskan
P BR hubungan antara dua hal.
BP Misalnya, nilai komparatifnya diketahui tinggi
Penguasa dengan pohon adalah 1/100. jika tinggi
Gambar 4.4 penggaris 3cm dan tinggi bayangan 6cm, bisa
Pohon dan penggaris menyimpulkan bahwa itu adalah tinggi pohon
300 cm dan tinggi naungan pohon 600 cm.
Bab 4 | Perbandingan Trigonometri 97
Terakhir, Anda juga perlu mengingat konsep kongruensi segitiga. Draf
Ini juga terkait erat dengan konsep tolok ukur.
Dua segitiga dapat memenuhi syarat kongruensi jika:
• Ketiga sudut dalam segitiga adalah sama atau
• Ketiga sisi segitiga proporsional (memiliki nilai rasio yang sama)
Segitiga ADE dan segitiga ABC adalah segitiga kongruen.
Segitiga MNO dan segitiga QRS juga merupakan contoh segitiga kongruen.
Sebuah MQ
DE 4cm 5cm 10cm
8cm
N 3cm O
BC R 6cm S
Gambar 4.5 Gambar 4.6
Segitiga Kongruen 1 Segitiga Kongruen 2
mari berdiskusi
Mengapa segitiga pada Gambar 4.5 dan 4.6 disebut kongruen?
A. Perbandingan Trigonometri
Panjang keliling bumi adalah 40.030 Pindai QR
km. Tahukah Anda 2.000 tahun kode berikut
sebelum ahli matematika harus melakukannya
Temukan perkiraan jumlah pemirsa
Sama? Tonton video dengan memindai video.
Kode QR dan lihat manfaat nyata dalam tindakan
perbandingan trigonometri. kamu bisa melakukannya
Atur fungsi terjemahan otomatis
Youtube jika perlu.
98 Matematika Kelas X SMA/SMK
Perbandingan bayangan dan sudut Pindai kode QR
Bayangan berguna di sini
dalam cerita oleh Eratosthenes, yang membaca sinopsisnya
Mereka melihat. Ayo, kamu terjemahkan
melakukan kegiatan eksplorasi dengan video di atas
perbandingan bayangan Eratosthenes.
Eksplorasi 4.1
mari kita jelajahi
Gambar 4.7 menunjukkan tiga orang dengan ketinggian berbeda
Berdiri di posisi yang sama dengan membelakangi sumber cahaya. Semua orang membentuk
bayangan dengan panjang yang berbeda. Hasil Lebih Tinggi
bayangan yang lebih panjang.
Balita Remaja Dewasa
Gambar 4.7 Bayangan tiga orang
mari kita coba
Anda dapat melakukan aktivitas berikut dengan mengumpulkan data bayangan
dan ukuran tiga orang yang berbeda secara mandiri. Pastikan teman-teman
punya cukup waktu untuk eksperimen mandiri ini.
1. Gunakan penggaris dan ukur tinggi dan bayangan anak, remaja,
dan dewasa pada Gambar 4.7.
Anak kecil remaja dewasa
Tinggi _____ cm _____ cm _____ cm
Tinggi naungan _____ cm _____ cm _____ cm
Bab 4 | Perbandingan trigonometri 99
2. Temukan nilai perbandingan tinggi dan bayangan setiap orang. Sebelum
Hitung berapa nilainya
perbandingannya sama atau beda?
Nilai perbandingan tinggi dan bayangan i Tip
Perbandingan Dewasa Remaja Balita
dengan ditemukan
berbagi tinggi
tubuh besar
Bayangan.
Apa yang kamu temukan? Setelah kamu,
Kenapa ini?
3. Tarik garis dari atas kepala setiap orang ke atas bayangan kepala mereka.
4. Dengan menggunakan busur, ukur sudut yang dibuat antara bayangan dan garis
kemiringan yang Anda gambar pada langkah 3.
Apa yang kamu temukan? Mengapa Anda berpikir bahwa?
Anak kecil remaja dewasa
ukuran sudut
5. Mengetahui tinggi badan anak kecil, apakah orang dewasa bisa tinggi?
mencari?
Mari berdiskusi dan bekerja sama
Diskusikan tanggapan diskusi, pastikan Anda masing-masing menjelaskan
Pikiran Anda akan bekerja sama untuk menemukan jawaban yang tepat.
1. Sebutkan sisi-sisi segitiga siku-siku
Prinsip nilai komparatif digunakan untuk menentukan tinggi badan orang dewasa
diterapkan untuk menemukan ketinggian gedung pencakar langit atau elevasi
Gunung. Perbandingan trigonometri hanyalah perbandingan nilai
segitiga siku-siku khusus dan berguna. Tiga garis dalam segitiga siku-siku
memiliki nama tertentu.
100 matematika untuk kelas X SMA/SMK
Tiga nama untuk setiap sisi segitiga adalah:
1. Depan 2. Samping 3. Sisi Miring (Hypotenuse)
Gambar 4.8 Depan Gambar 4.9 Samping Samping Gambar 4.10 Sisi miring
Definisi: sisi yang ada Definisi: sisi yang ada Definisi: sisi yang ada
di sebelah sudut θ berhadapan langsung. ada di sekitar sudut
sudut θ. Siku.
Mari berpikir kritis
Gunakan contoh dalam aktivitas Gambar 4.1s1isiCsaomnptoinhg shading
Eksplorasi, ini bagian depan, samping
sisi dan sisi miring segitiga?
Latihan 4.1
1. Temukan nama yang tepat 45º z
untuk setiap sisi segitiga
sudut siku-siku pada Gambar 4.12! X
Gambar 4.12
Segitiga dengan sisi XYZ
J
2. Anak perempuan menamai sisi-sisi segitiga sebagai berikut:
n Sisi depan adalah sisi-m.
Wajah adalah sisi-n.
o m Sisi miring (sisi miring) adalah sisi o.
Coba tulis saran perbaikan untuk Putri
30º Pengertian! Pastikan saran Anda
ada penjelasan kenapa.
Bab 4 | Perbandingan trigonometri 101
2. Semacam perbandingan trigonometri: Tan θ
Dalam aktivitas eksplorasi, Anda menelusuri hubungan antara tinggi dan
bayangan semua orang. Nilai perbandingan ditemukan sama (mis
sekitar 0,57) dan sudut yang terbentuk juga sama (30o).
Nilai perbandingan ini mempunyai nama khusus yaitu tangen (disingkat
cokelat). Anda bisa mendapatkan tan sudut dengan membagi panjang sisi yang berlawanan dan sisi
sisi segitiga.
depan
Ѳ
sisi samping
Gambar 4.13 Tangen dalam segitiga
Catatan: Ada dua jenis perbandingan trigonometri lainnya, yaitu sinus dan
Kosinus. Anda dapat mengetahui lebih lanjut tentang ini di sub-bagian 2.
Pada contoh yang sedang Anda kerjakan, tan 30o = 0,57.
Hasil nilai tan 30o merupakan nilai pembanding.
Mari kita ingat
Nilai perbandingan (rasio) adalah nilai yang dihasilkan dari hubungan rasio
dengan benda lain/nilai hubungan antara dua benda.
Mari berpikir kreatif
Apa lagi nilai komparatif yang berguna dalam kehidupan sehari-hari
Dia? (misalnya saat memasak)
102 Matematika Kelas X SMA/SMK
Latihan 4.2 Dapatkah kamu mencari perbandingan tan 70o?
1. Jelaskan alasannya!
70º 15cm
7cm
2. Bagikan tugas membentuk 3 segitiga siku-siku dengan teman sekelasmu
Salah satu sudutnya 40o. Periksa dimensi ketiga segitiga tersebut
berbeda. Tandai sudut kanan dan 40° serta nama masing-masing sisi.
Ayo kerja sama
Jika ada lebih dari 3 orang di grup Anda, tetapkan tugas umum
anggota keempat seperti “auditor” yang bertugas mengaudit
akurasi triangulasi.
3. Gunakan untuk menentukan nilai perbandingan bagian depan dan samping sudut 40o
salah satu segitiga yang dibuat.
4. Cari nilai tan 40o menggunakan salah satu segitiga yang dibuat.
5. Diskusikan dengan teman sekelasmu: Apa jawaban nomor 2 dan 3?
Dari kamu juga? Apakah nilai tan 40o merupakan nilai pembanding? Menjelaskan
alasanmu!
3. Penggunaan perbandingan trigonometri Tan θ
Dengan mengetahui perbandingan tinggi anak dengan bayangannya (tan θ),
Anda dapat mencari panjang bayangan remaja dan tinggi orang dewasa
Sesungguhnya.
Balita Remaja Dewasa
114cm
148cm
Ѳ Ѳ Ѳ
200cm
305cm
Gambar 4.14 Segitiga kongruen dari bayangan tiga orang
Bab 4 | Perbandingan trigonometri 103
Tiga gambar pada halaman sebelumnya adalah segitiga kongruen,
anda dapat menulis seperti ini:
Cara mencari panjang bayangan remaja:
Cara pertama: perbandingan segitiga sejenis.
Panjang bayangan remaja adalah 259,65 cm.
Cara kedua: gunakan perbandingan trigonometri.
Diketahui tan 30o = 0,57.
148cm
Ѳ
remaja
104 Matematika Kelas X SMA/SMK
Latihan 4.3
1. Gunakan contoh yang baru saja diberikan untuk mencari tinggi badan orang dewasa.
A. Hitunglah tinggi orang dewasa dengan menggunakan perbandingan segitiga
kongruen.
B. Temukan tinggi badan orang dewasa menggunakan perbandingan
Trigonometri.
2. Diketahui dua segitiga di samping C F
adalah segitiga yang kongruen dengan
rasio aspek tanθ = 0,47; D
A. Jika panjang sisi b = 12 cm, tentukan panjang e
A
sisi c! B
B. Diketahui segitiga memiliki FDE Df E
ukuran segitiga CAB. Untuk menghitung
panjang sisi c dan sisi f! Sebuah cB
Latihan 4.4
memahami hitungan.
1. Tan tidak diketahui
Gambarlah segitiga siku-siku yang memenuhi rasio
Itu. Masukkan label dan panjang bagian depan dan samping dalam cm!
2. Carilah panjang x !
Saya perhatikan
Anda mungkin perlu menggunakan kalkulator untuk menyelesaikannya
masalah ini.
Mari gunakan teknologi
Awas, tidak satupun dari mereka!
• Bisa menggunakan kalkulator
• Dapat menggunakan website GeoGebra
Bab 4 | Perbandingan trigonometri 105
Mari berpikir kreatif
Ada cara mencari panjang x tanpa menggunakan kalkulator yang sama
sangat. Apa kamu tau bagaimana caranya?
A.B.C.
22,7cm 72º 32º
3m 18cm
18º 58º
xmxcm
62º
xcm
3. Soal ini terdiri dari empat bagian.
Bagian pertama:
merah Perhatikan segitiga berikut dan tentukan namanya
sisi-sisinya didasarkan pada sudut 60o!
60º masuk. Sisi merah adalah sisi __________.
Hijau
B. Sisi hijau adalah sisi __________.
biruc. Sisi biru adalah sisi __________.
Bagian kedua:
Segitiga berikut merupakan segitiga sama besar
Segitiga dalam pertanyaan nomor satu. Sekarang,
busuk 30º
Tentukan nama sisi menggunakan sudut 30o!
A. Sisi merah adalah sisi __________.
hijau b. Sisi hijau adalah sisi __________.
biruc. Sisi biru adalah sisi __________.
Bagian ketiga:
Segitiga berikut merupakan segitiga sama besar
Segitiga dalam soal nomor satu dan dua.
merah 30º Sekarang beri nama halaman berdasarkan sudut
tentu!
60º hijau a. Bagian depan sudut 30° berwarna _______.
B. Bagian depan sudut 60° berwarna _______.
Blau
C. Sisi sudut 30° berwarna _______.
106 Matematika Kelas X SMA/SMK
Bagian keempat:
Gunakan jawaban Anda untuk pertanyaan nomor satu untuk melengkapinya
masalah berikut.
A. Apakah sisi-sisi yang berhadapan pada sudut 30o dan 60o sama atau berbeda? Mengapa
dengan itu?
B. Apakah sisi sudut 30o dan 60o sama atau berbeda? Mengapa
dengan itu?
C. Apakah hipotenus sudut 30o dan 60o sama atau berbeda? Mengapa
dengan itu?
pertanyaan aplikasi
4. Tan dikenal.
A. Gambarlah dua segitiga siku-siku yang berbeda namun memenuhi
nilai perbandingan.
B. Apakah ada lebih dari dua segitiga yang memenuhi nilai perbandingan?
Itu? Jelaskan alasan Anda.
5. Seorang perencana kota yang berpengalaman harus membangun jalan dari titik B ke titik A.
B
X
1162 mA
814 m
CD
A. Temukan panjang jalur yang harus dia gambar untuk menghubungkan titik B
sebuah.
B. Carilah nilai perbandingan antara jarak titik C ke A dan jarak titik C ke B.
Catatan: Nilai ini adalah rasio trigonometri dari sinus.
C. Carilah nilai perbandingan antara jarak titik A ke B dan jarak titik C ke B.
Catatan: Nilai ini merupakan nilai rasio kosinus trigonometri.
D. Jika segitiga ABC dan segitiga ADC kongruen, tentukan panjang CD!
Bab 4 | Perbandingan trigonometri 107
6. Seorang teknisi memperbaiki A
tiang transmisi dengan E
Tinggi 150 meter. Jarak antara titik B dan D
adalah 125 meter. CD
A. Jika sudut yang dibentuk oleh kedua i Petunjuk
tangga tersebut 60o, hitunglah jarak BC!
Anda mungkin membutuhkan
B. Temukan juga jarak CD. Gambarlah segitiga siku-siku
Siku tergantung pada konteksnya
Pertanyaan untuk menjelaskan masalah terlebih dahulu.
7. Sudut pendaratan default pesawat
direkomendasikan untuk kenyamanan dan
paspor adalah 3o. Ketika pesawat itu
berada di ketinggian 600 meter berapa banyak
jarak antara posisi pesawat saat ini
dengan posisi pendaratan yang ideal?
8. Sebuah riser harus mengukur
menyiapkan jalur sungai
bangunan jembatan. Pertama, ahli
bangun memberi tanda
Titik awal dan lihatlah ada pohon besar
di atas sungai. Itu bekerja kemudian
sambil mengukur jarak sampai posisi 30º iik adalah awal
sejajar dengan pohon. Jaraknya hanya 400 m
itu menempuh jarak 400 meter. Ini nanti
kembali ke titik awal dan ukur sudut arah belok ke posisi pohon
dengan theodolit. Dia mendapat sudut 31o.
A. Tentukan panjang rencana jembatan yang akan digunakan sebagai dasar
informasi yang ada!
B. Untuk memastikan perhitungannya benar, pembangun memilih titik awal
dan mengukur jarak dan sudut. Dia punya sudut
Rotasi 36o dan jarak 330,8 meter. Tanpa melakukan perhitungan
Matematika, memberikan penjelasan baik tidaknya strategi yang digunakan oleh perancang
benar atau salah.
9. Dimas mencoba mencari tinggi tiang bendera. Dengan bantuan teman
dan alat busur, ini memperkirakan sudut yang terbentuk antara kepala dan ujungnya
Tiang bendera 34o.
108 Matematika Kelas X SMA/SMK
A. Jarak antara Dimas dan tiang bendera adalah 34º
adalah 52m. Cari panjang depan
berdasarkan sudut dan jarak yaitu 52m
dikenal!
B. Teman-teman Dimas berpikir demikian
Jawaban di bagian a tinggi
tiang bendera yang sebenarnya.
Dimas membantah pernyataan itu
Itu. Bagaimana menurutmu?
Jelaskan mengapa.
Mari berpikir kritis
Terkadang hasil perhitungan perlu diperiksa sesuai
konteks sehingga jawaban yang diterima dapat dijawab
pertanyaan sebenarnya.
Materi Pengayaan: Proyek membuat inclinometer
Di subbab pertama Anda melihat perspektif
Menggunakan rasio trigonometri untuk elevasi horizontal
Ukur tinggi benda besar tanpa
harus diukur secara langsung. kalian pojok
Saya akan merakit perangkat yang disebut Inclinometer Depresi
yang mengukur sudut kemiringan,
Elevasi (tingkat kemiringan) atau depresi (level Gambar 4.15
Limbah). Kemudian dilakukan sudut elevasi dan sudut kemiringan
Bereksperimenlah dengan mengukur objek di sekitar Anda.
Untuk membuat inklinometer, siapkan hal-hal berikut:
• Kaset dan gunting
• 1 sedotan
• 1 putaran
• 1 seperti itu
• 1 panah karton
Bab 4 | Perbandingan trigonometri 109
Langkah-langkah membuat inclinometer:
• Pasang panah karton di ujung tali.
• Potong tali dengan panjang yang cukup.
• Rekatkan tali di tengah busur.
• Gunting jerami (sesuaikan panjangnya).
panjang busur).
• Gunakan selotip dan tempelkan pada sedotan
bagian datar dari lengkungan.
Gambar 4.16
inklinometer sederhana
Mari berpikir kritis
Pikirkan dan tuliskan bagaimana Anda menghitung sudut atau sudut elevasi
mati Depresi!
Untuk mengukur aktivitas, cobalah beberapa kali dengan aktivitas yang berbeda
Obyek. Gunakan trigonometri untuk mencari tinggi benda.
Jangan lupa bahwa sudut dihitung dari garis pandang horizontal
Gunakan inclinometer!
B. Penggunaan perbandingan trigonometri
Piramida adalah sebuah bangunan
luar biasa dibangun di sekitar
4.500 tahun yang lalu. Memperkenalkan
jumlah pekerja dan persiapan yang
dibutuhkan untuk membangun sebuah bangunan
jadi tanpa ketersediaan alat
Menuntut seperti hari ini.
Gambar 4.17 Piramida di Mesir
Apa: Jeremy Bishop/unsplash.com
110 matematika untuk Kelas X SMA/SMK
Jika digambar secara sederhana, ukuran piramida itu memang besar
ditentukan oleh tinggi, panjang jari dan
Sudut seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.32. segitiga Ѳ
Yang ada di gambar adalah segitiga siku-siku. Pada
Piramida Giza, piramida tertua dan terbesar dalam radius
di dunia sudut θ adalah 41o.
Eksplorasi 4.2 Gambar 4.18
Tinggi dan jari-jari piramida
mari kita jelajahi
Sekarang gunakan imajinasi Anda untuk menjawab beberapa pertanyaan ini.
• Tandai sisi-sisi segitiga siku-siku dengan nama berikut: sisi berlawanan, sisi, dan sisi
sisi miring (Hypoenusa).
• Jika sudut θ diperbesar, bagaimana tinggi piramida berubah?
• Jika sudut θ dibuat lebih kecil, bagaimana tinggi piramida berubah?
• Jika sudut θ diperbesar, bagaimana panjang jari-jarinya berubah?
• Jika sudut θ diperkecil, bagaimana panjang jari-jarinya berubah?
Jika perlu, renungkan jawaban Anda untuk pertanyaan-pertanyaan berikut
Gambarlah bayangan Anda untuk membantu menjawabnya.
mari berdiskusi
Setelah berpikir dan bekerja secara mandiri, diskusikan jawaban Anda bersama
dengan teman sekelas.
• Bagaimana nilai rasio aspek berubah jika sudut θ dibuat lebih besar?
depan dan samping (tan θ)?
• Bagaimana nilai rasio aspek berubah jika sudut θ dibuat lebih besar?
Depan dan sisi miring dari segitiga siku-siku?
• Bagaimana nilai rasio aspek berubah jika sudut θ dibuat lebih besar?
Sisi dan sisi miring dari segitiga siku-siku?
Bab 4 | Perbandingan Trigonometri 111
1. Perbandingan trigonometri dalam piramida
Di awal bab, selain membandingkan nilai tangen, Anda juga akan ditanya
dengan mempertimbangkan nilai komparatif lainnya.
• Perbandingan nilai depan dan sisi miring, juga dikenal sebagai
Sinus.
• Nilai rasio sisi dan sisi miring juga diberikan
mengirimkan kosinus
Perhatikan dua skenario berikut untuk melihat penerapan sinus dan perbandingannya
cosinus dalam piramida.
Seorang pengagum piramida ingin Seorang sejarawan ingin membuat
Buat replika piramida. Dia tahu lorong bawah tanah sehingga dia bisa
θ = 41o dan panjang sisi limas masuk ke tengah limas. Dia
adalah 600m. Membangun mengetahui bahwa θ = 41o.
Replika juga perlu tahu
ketinggian piramida.
Tinggi
Saya ingin melakukan Ѳ
membangun kembali piramida
investasi
Ѳ tinggi
Jari-jari Gambar 4.20
Buat lorong bawah tanah
Gambar 4.19
Buat replika piramida
Sisi miring depan sisi miring
Ѳ Ѳ
sisi samping
112 Matematika Kelas X SMA/SMK
Sine trigonometri Perbandingan trigonometri cosinus
(biasa disingkat sin) adalah nilai (biasa disingkat cos) adalah nilai
Perbandingan antara sisi depan dan perbandingan antara sisi samping
Sudut miring θ dari segitiga siku-siku. dan sudut sisi miring θ dalam segitiga
sehari-hari.
Saya masalah Piramida, Saya masalah Piramida,
perbandingan trigonometri sin perbandingan trigonometri cos can
dapat membantu kami menemukan ketinggian, membantu kami menemukan jari-jari alas
Piramida. Piramida.
Menggunakan kalkulator, kita punya
Cari tahu bahwa cos 41o = 0,75
(bulat).
Menggunakan kalkulator, kita punya
menemukan bahwa sin 41o = 0,66
(bulat).
Panjang lorong bawah tanah
harus menggali 450 m.
Mari merenung
Apa perbedaan antara rasio trigonometri sin, cos dan tan?
Apa persamaan perbandingan trigonometri sin, cos dan tan?
Wanimbo berperan sebagai naga.
K
Dia berhasil membiarkan naga itu terbang
Tingginya 3,5m sambil memegang ujungnya
layang layang setinggi 60 cm
Permukaan T. Layang-layang juga terbentuk
I E sudut ∠KIT sebesar 25o. Tinggi
Gambar 4.21 Masalah Wanimbo. Coba cari panjang tali layang-layang
Layang-layang yang direntangkan Wanimbo!
Bab 4 | Perbandingan trigonometri 113
Mari berpikir kritis
Pikirkan tentang rasio trigonometri (antara sin, cos atau tan).
akan berguna untuk memecahkan masalah ini?
Simak jawaban siswa SMA 78 Kota Sukaberkah bernama Surya
(aktif): Saya harus menggunakan rasio trigonometri sinus karena saya
Ketahui tinggi layang-layang dan temukan panjang tali layang-layang.
Mari berdiskusi dan bekerja sama
Jawaban Surya salah. Diskusikan dengan rekan kelompok Anda
apa yang tidak tepat dari solusi surya. Pastikan setiap anggota memahami apa
salah, lalu cari jawaban yang benar.
Lintang 4,5 Q
1. Sebuah segitiga siku-siku PQR memiliki besar ∠P = 36,8º
53,2o dan besarnya ∠Q = 36,8o. 54
A. Carilah nilai sinus dari 53,2! Jelaskan pola pikir dan proses Anda 53.2º
B. Nilai perbandingan panjang sisi QR dan QP sama dengan P3
dengan nilai ________.
SAYA. cos 53.2 ii. Biaya 36,8r
2. Jika ∠A = θ dan cos θ = , tandai ∠A pada gambar segitiga di
4 halaman. Jika ∠M = θ dan sin θ = , tandai ∠M pada gambar
5
segitiga di samping.
3
114 Matematika Kelas X SMA/SMK
3. Jika ∠M = θ dan sin θ = , tandai ∠M pada Gambar 13 5
segitiga di samping.
4. Pekerjaan mandiri: 12
Tuliskan arti sin θ sebagai nilai perbandingan
dengan kata-katamu sendiri! Jika menurut Anda perlu, Anda dapat menambahkan
Bild.
Bekerja dengan dua atau tiga teman sekelas:
Bandingkan jawaban Anda dengan teman sekelas Anda. Mohon masukan untuk
Definisikan definisi teman Anda dan/atau revisi definisi Anda sendiri.
Bekerja bersama sebagai satu kelas (dipimpin oleh guru):
Komunikasikan secara lisan kepada seluruh kelas definisi yang menurut Anda baik. Guru
merangkum definisi dan kegiatan ini.
5. Bekerja secara mandiri:
Tuliskan arti cos θ sebagai nilai pembanding dengan kata-katamu sendiri!
Jika dirasa perlu, Anda dapat menambahkan gambar.
Bekerja dengan teman sekelas:
Bandingkan jawaban Anda dengan teman sekelas Anda. Mohon masukan untuk
Definisikan definisi teman Anda dan/atau revisi definisi Anda sendiri.
Bekerja bersama sebagai satu kelas (dipimpin oleh guru):
Komunikasikan secara lisan kepada seluruh kelas definisi yang menurut Anda baik. Guru
merangkum definisi dan kegiatan ini.
2. Tiga perbandingan trigonometri
Ketika ahli matematika kuno mempelajari segitiga, mereka menemukan pola
perbandingan (perbandingan) panjang sisi-sisi segitiga siku-siku yang telah kamu pelajari
pada subbab sebelumnya dan pada subbab ini. Ada tiga perbandingan trigonometri yang Anda miliki
Pelajari sinus, kosinus, dan tangen.
Bab 4 | Perbandingan trigonometri 115
sin 30o = 0,5kerugian cos 43o = 0,73 tan 55o = 1,43
sisi samping
sisi miring sisi miring 60º
Halaman Halaman45º
depan 30º
Gambar 4.23
Gambar 4.22 Kosinus 43o Gambar 4.24
Sinus 30o Tangen 55o
Mari kita ingat
Apa yang dimaksud dengan sin, cos, tan sebagai nilai perbandingan?
Mari gunakan teknologi
Coba simulasi perbandingan dari pemindaian kode QR
Trigonometri pada GeoGebra. di sebelah untuk
Anda dapat mengaksesnya dialihkan ke
melalui link berikut: Simulasi pada aplikasi
bit.ly/simulasitrigonometri GeoGebra.
• Geser papan sampai kalian
Anda mendapatkan sudut 40o.
• Seret salah satu titik putih pada segitiga untuk memperbesar/
kurangi ukurannya.
• Pada perbandingan nilai di atas, perhatikan apakah nilainya sama atau tidak
berubah? Jelaskan alasanmu kepada teman satu kelompokmu.
3. Sudut khusus perbandingan trigonometri
Sudut khusus dalam perbandingan trigonometri adalah sudut yang memiliki nilai
rasio dapat ditentukan secara akurat. Sudut khusus akan sangat berguna
dan banyak digunakan di kelas fisika.
116 Matematika Kelas X SMA/SMK
Eksplorasi 4.3
mari kita jelajahi
Anda akan melengkapi tabel di bawah ini dengan nilai rasio trigonometri.
30o 45o 60o
dosa
cos
cokelat
Ayo kerja sama
Cobalah untuk membagi tugas meninjau pekerjaan masing-masing. Jika jawabannya berbeda
Coba cari tahu apa yang kurang tepat dan cari solusinya.
Lihat panduan di bawah ini.
Cari nilai perbandingan trigonometri 30o dan 60o:
1. Gambarlah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2 satuan. Berry
Variabel A, B, C untuk setiap sudut.
2. Potong segitiga menjadi dua dengan garis vertikal di tengahnya
di tengah bangun tidur.
3. Gambar ulang bagian segitiga dan tandai panjang sisi dan ukurannya
sudut yang diketahui.
4. Temukan panjang sisi yang tidak diketahui menggunakan teori Pythagoras.
5. Tentukan perbandingan sin, cos dan tan untuk sudut istimewa 30o dan 60o!
Mencari nilai perbandingan trigonometri 45o :
1. Gambarlah segitiga siku-siku sama kaki dengan panjang 1 satuan.
2. Tentukan panjang sisi miring menggunakan teori Pythagoras.
3. Temukan nilai perbandingan sin, cos dan tan untuk sudut tertentu 45o!
Bab 4 | Perbandingan trigonometri 117
Latihan 4.6
1. Sebuah segitiga siku-siku sama kaki telah berdiri sendiri
panjang kedua sisinya 8 cm. Berapa panjang sisinya
Memiringkan? Cepat, cobalah
hitungan panjang
2. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sudut 30o pada sisi miringnya jika
dan 60o. panjang dua sisi
10cm lagi.
A. Tuliskan panjang setiap sisi segitiga
mungkin.
B. Nia mengatakan segitiga ini memiliki panjang sisi
sebagai berikut: 5√3cm, 5cm dan 15cm. Menurut Anda itu panjang
situs yang disarankan Nia mungkin? Jelaskan mengapa.
Latihan 4.7
masalah pemahaman mis
1. Tentukan panjang sisi x dan z!
9,2
30º
X
2. Segitiga ABC memiliki panjang sisi sebagai berikut:
Sisi AC = 5 C 12 B
Sisi CB = 12
Sisi AB = 13 5
13
A
A. Sebutkan setiap sisi dari segitiga siku-siku berikut.
B. Carilah hasil dari sin θ!
C. Carilah hasil cos θ!
118 Matematika Kelas X SMA/SMK
Soal Aplikasi L
3. KLM adalah segitiga dengan besar sudut K √13 56,3º
dan panjang seperti pada gambar di 2
Halaman. KLM adalah segitiga 33,7º
Sudut dan panjang seperti pada 3 st
gambar di samping.
A. Tentukan hasil perbandingan
Trigonometri berdasarkan sudut
apa yang ditakdirkan.
sin 56,3o = sin 33,7o =
Cos 56,3o = Cos 33,7o =
B. Manakah dari dua pasang perbandingan trigonometri yang hasilnya?
sama? Kenapa ini?
Mari berpikir kritis
Pada sudut tertentu, perbandingan trigonometri sin 30o dan cos 60o juga sama
nilainya sama. Cari tahu sendiri mengapa pola seperti itu ada
atau dengan teman sekelasmu.
4. Carilah panjang x, y, dan z! Z
J
8
45º z y
60º
30º
X
120 m
5. Seorang surveyor dari jarak 120 m
Temukan sudut yang terbentuk di antara mereka
Garis permukaan dan puncak bangunan
adalah 30o. Gunakan perbandingan
Trigonometri untuk mencari ketinggian
Bangunan! Temukan hasilnya dengan
bulatkan ke meteran terdekat.
Bab 4 | Perbandingan trigonometri 119
Asah Otak 4
6. Ada susunan beberapa segitiga siku-siku - 30º 30º
siku sebagai berikut. 30º
A. Desi mengatakan harus mencari dosa 30o 30º
untuk mencari panjang x. Adalah
apakah kamu setuju desi X
B. Tentukan panjang x !
7. Gambar persegi panjang dua kali panjang diagonalnya. Untuk
Persamaan untuk mencari panjang persegi panjang!
8. Seorang pria berjalan 50 m
45º 60º
area hijau. Dia memukul tongkat
Pohon dan tiang listrik. jika tinggi
Batang 50 meter dengan sudut antara pria dan
Pasang dan ujung tiang 45o dan sudut antara keduanya
sebatang pohon dengan tinggi 60o, berapa banyak
jarak antara pria dan
Baum?
Relaksasi
Ada tiga jenis perbandingan trigonometri yaitu sinus, cosinus, dan tangen. setiap-
Perbandingan apa pun dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah
setiap hari dari jarak pesawat lepas landas hingga pengukuran objek pengukuran
secara fisik tidak dapat mengukur tingginya. Ada juga perbandingan trigonometri
untuk sudut khusus dalam segitiga siku-siku sama kaki dan
segitiga sama sisi.
A. Dapatkah Anda mengidentifikasi nama setiap sisi segitiga siku-siku?
B. Bisakah Anda menjelaskan perbedaan antara nilai tetap dan nilai?
Perbandingan?
C. Bisakah Anda menjelaskan mengapa cara mencari sin θ, cos θ dan
tanθ?
120 matematika untuk Kelas X SMA/SMK
D. Bisakah kamu menyelesaikan soal matematika dengan
menggunakan perbandingan trigonometri?
e. Apa keuntungan dari perbandingan trigonometri?
uji kompetensi
1. Jika , berapakah nilai sin x dan tan x?
X
2. Sebuah persegi memiliki panjang diagonal 18 cm. Berapa panjang sisinya
Kotak itu?
3. Demi keamanan, harus ada tangga
diletakkan dengan sudut 75o.
Diketahui ketinggian suatu lantai pada bangunan tersebut
Ini dia 3,2 meter. Jika tangga
harus disediakan langsung di depan jendela
Lantai 3, berapa panjang tangganya?
diperlukan?
75º
4. Tom mengatakan bahwa sinus adalah salah satu sudut A
lancip pada segitiga siku-siku selalu sama
kosinus sudut lancip lainnya. Dengan kata lain,
cos B = sin A. Apakah pernyataan Tom benar? Apa
bukti dan penjelasan?
CB
Bab 4 | Perbandingan trigonometri 121
5. Jelaskan kegunaan rasio trigonometri untuk (pilih salah satu
Menyukai):
A. Mengukur ketinggian monumen ikonik
Daerah di Indonesia seperti Jam
Gadang, in Bukittingi, Sumatra
Barat. Anda dapat melakukan
gambar untuk dukungan
penjelasan Anda.
Gambar 4.25 Menara Lonceng
Sumber gambar: AiryRooms
B. Ukur lebar sungai untuk
Pembangunan jembatan misalnya
Jembatan Youtefa di Papua. Anda
dapat mengambil gambar untuk
mendukung pernyataan Anda.
Gambar 4.26 Jembatan Youtefa
Yaitu: www.indonesia.go.id, Dok.PUPR
122 Matematika Kelas X SMA/SMK
Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset dan Teknologi Bab
Republik Indonesia, 2021
Matematika untuk SMA/SMK Kelas X 5
Autor: Dicky Susanto, et al
ISBN: 978-602-244-526-5
Sistem
persamaan &
ketidaksamaan
Linier
pengalaman belajar
Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan
mungkin:
1. Memodelkan masalah ke dalam sistem
persamaan linier dan solusinya;
sebaik
2. Modelkan masalah di dalamnya
Sistem pertidaksamaan linier dan
Selesaikan itu.
Matematika SMA/MA Kelas X 123
Perhatikan contoh-contoh berikut.
1. Menu datar terdiri dari paket yang berbeda. Jenis makanannya sama di setiap bungkusnya,
tetapi berbeda jumlahnya. Apakah lebih murah untuk membeli paket?
makan atau memesan setiap jenis makanan secara terpisah?
2. Pemangsa memburu mangsanya. Saat kecepatan dan posisi rumah diketahui
Akankah pemangsa mengejar mangsanya?
3. Biaya tetap dikeluarkan dalam produksi (misalnya pembelian mesin, sewa tempat) dan
Ada biaya yang bergantung pada jumlah barang yang diproduksi (mis
bahan baku). Harga jual hanya bergantung pada jumlah barang yang terjual
dijual. Setidaknya berapa banyak benda yang harus dijual untuk perusahaan
tidak rugi?
Pertanyaan di atas adalah contoh pertanyaan yang bisa dijawab
dengan menggunakan sistem persamaan linier dan sistem pertidaksamaan linier.
Sistem persamaan linier adalah gabungan dari beberapa persamaan linier.
Solusinya adalah nilai yang memenuhi semua persamaan linear.
Demikian juga, sistem pertidaksamaan linier terdiri dari beberapa
pertidaksamaan linier dan penyelesaiannya membuat semua pertidaksamaan menjadi linier
nilai asli.
Pertanyaan yang fantastis
• Bagaimana mengubah soal ini menjadi sistem persamaan/pertidaksamaan
linier?
• Apa artinya menemukan solusi?
• Apa solusi dari sistem persamaan/pertidaksamaan linear ini?
kata kunci
Sistem persamaan linier, sistem pertidaksamaan linier, penyelesaian/penyelesaian, variabel.
124 Matematika Kelas X SMA/SMK
peta konsep
sistem persamaan
Pertidaksamaan linier
Sistem persamaan linear Sistem pertidaksamaan
Linier
Mari kita ingat
Di sekolah menengah Anda mempelajari sistem persamaan linier dengan dua variabel.
Sistem persamaan linier adalah kumpulan dari beberapa persamaan linier yang saling berhubungan
terkait. Penyelesaian sistem persamaan linier adalah nilai yang memuaskan
semua persamaan ini.
Contoh soal yang dapat dimodelkan dengan sistem persamaan linier.
Sebuah toko alat tulis menjual paket alat tulis. Paket A seharga Rp 18.000,00
berisi lima buku catatan dan dua pensil. Paket B berisi buku catatan dan dua pulpen
senilai Rp10.000,00. Berapa harga setiap buku catatan dan pulpen?
Larutan:
Jika Anda mengutip harga notebook
dan memberikan harga sebuah pensil
kemudian model matematis (dalam ribuan rupiah).
Model matematika terdiri dari dua persamaan dengan dua variabel.
Semua variabel dipangkatkan, yang berarti kedua persamaan di atas adalah
persamaan linier. Solusi dari sistem persamaan linear mewakili harga
Hadiah Buku dan Pensil
Bab 5 | Sistem persamaan linear dan pertidaksamaan 125
Grafik sistem persamaan linier ditunjukkan pada Gambar 5.1.
Gambar 5.1 Grafik sistem persamaan linier
Masalah harga pensil dan buku
Solusi dari sistem persamaan linier adalah koordinat titik-titik di mana dua garis lurus berpotongan.
Anda dapat memasukkan nilai dari dan ke persamaan dan melihat
bahwa harga ini membuat kedua persamaan benar. Harga buku Rp 2.000,00 dan
Harga Pensil Rp 4.000,00.
A. Sistem persamaan linier
Sekarang setelah kita menguasai sistem persamaan linier dengan dua variabel, kita siap untuk melanjutkan
Mempelajari sistem persamaan linier dengan tiga variabel. Apa hal yang sama
dengan sistem persamaan linier dengan dua variabel? Apa perbedaannya?
126 Matematika Kelas X SMA/SMK
Eksplorasi 5.1
mari kita jelajahi
Gambar 5.2 Bola Basket
Tiga jenis nilai dihasilkan dalam bola basket. lemparan bebas
mereka yang masuk dihitung sebagai 1, melempar dalam area dihitung sebagai 2, dan melempar dari
di luar jangkauan bernilai 3. Wijaya mencetak 27 poin dalam satu pertandingan. Dia
masukkan bola ke dalam keranjang sebanyak 16 kali, termasuk 6 lemparan
Bebas Tentukan berapa kali setiap angka dicetak.
mari berdiskusi
Diskusikan dengan teman Anda: Bagaimana Anda menyelesaikannya?
masalah ini?
1. Salah satu strategi yang bisa Anda gunakan adalah Tebak dan Perbaiki. Tebakan,
menghitung nilai. Jika bukan 27, koreksi tebakan Anda.
Bab 5 | Sistem persamaan linear dan pertidaksamaan 127
1 digit 2 digit 3 digit Nilai
2. Tuliskan strategi lain yang telah Anda coba.
Mari berpikir kritis
Apakah strategi yang berbeda menghasilkan jawaban yang sama?
Mengapa?
solusi alternatif
Soal bola basket di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sistem persamaan linier.
1. Tentukan variabel. Pikirkan: apa yang diketahui? apa yang harus ditanyakan
Lemparan bebas yang dieksekusi dihitung sebagai 1, lemparan dari area penalti dihitung sebagai 2,
dan lemparan dari luar area bernilai 3.
Dari kalimat ini Anda dapat berpikir bahwa ada variabel untuk setiap orang
nilai yang mungkin (misalnya a, b, c adalah jumlah lemparan
yang bernilai 1, 2 dan 3).
2. Tentukan model matematisnya.
A. Wijaya mencetak 27 poin dalam satu pertandingan.
B. 16 kali memasukkan bola ke dalam keranjang.
C.6 di antaranya adalah lemparan bebas
128 Matematika Kelas X SMA/SMK
3. Terdapat 3 persamaan dengan 3 variabel dan semua variabel dipangkatkan 1. Di Sini
adalah sistem persamaan linier.
4. Pernahkah kamu belajar menyelesaikan sistem persamaan linier dengan dua variabel?
dengan eliminasi atau substitusi. Anda dapat menggunakan metode yang sama
sistem persamaan linier dengan tiga variabel (dengan lebih banyak pengulangan).
Untuk pertanyaan ini:
A. Pengganti Pendapatan
B. Nilai pengganti dan ke
menghasilkan nilai
C. Pergantian nilai a dan c menghasilkan nilai b = 9
5. Setelah mendapatkan solusi, tuliskan arti dari solusi tersebut dalam soal
Faktanya.
Berikut ini berlaku untuk tugas ini: Ada 6 lemparan bebas, 9 dari area bernilai 2
poin, dan 1 lemparan dari luar area bernilai 3 poin.
Mari berpikir kritis
Berapa banyak persamaan yang dibutuhkan untuk membentuk sistem persamaan
linier dengan 3 variabel?
Berapa banyak solusi yang dimiliki sistem persamaan linier?
Dalam sistem persamaan linier dengan dua variabel, ada 3 kemungkinan
banyak solusi:
• Sistem persamaan linier memiliki solusi. Grafik terdiri dari dua garis
memotong. Solusinya adalah titik di mana dua garis berpotongan.
• Sistem persamaan linear tidak memiliki solusi. Grafik terdiri dari dua garis
selaras.
• Sistem persamaan linier memiliki banyak penyelesaian. Grafik terdiri dari dua garis
siapa yang mendorong. Semua titik pada garis ini adalah solusi.
Bab 5 | Sistem persamaan linear dan pertidaksamaan 129
Tabel 5.1 menunjukkan contoh sistem persamaan linier untuk setiap jenis penyelesaian,
dengan setiap grafik.
Tabel 5.1 Contoh sistem persamaan linier dengan
Banyak solusi berbeda
TIDAK. Sistem persamaan grafik berpotongan
Linier
1 persimpangan
1 von (-1,2)
2 tidak masuk akal
memotong
3 banyak poin
memotong
Dalam sistem persamaan linier dengan tiga variabel, juga terdapat tiga kemungkinan
banyak solusi.
130 Matematika Kelas X SMA/SMK
Bagaimana Anda membuat grafik sistem persamaan linier dengan tiga variabel?
Dalam grafik, persamaan linier dengan tiga variabel adalah bidang. tumpang tindih
Dua bidang membentuk satu garis, sedangkan perpotongan tiga bidang membentuk satu titik.
Gambar 5.3 merupakan grafik dari sistem persamaan linear berikut. Ketiga bidang tersebut
berpotongan di titik (1,0,0).
Gambar 5.3 Diagram sistem persamaan linier dengan tiga variabel
Mari gunakan teknologi
Jika Anda ingin membuat grafik sistem persamaan linier dengan tiga variabel,
Anda dapat menggunakan aplikasi GeoGebra.
Bab 5 | Sistem persamaan linear dan pertidaksamaan 131
Ayo kerja sama
Yuk, ajukan pertanyaan berikut ini bersama teman-temanmu.
Latihan 5.1
1. Asep memiliki beberapa stik dengan tiga macam ukuran, ukuran a, ukuran b,
dan mengukur c. Asep menjajarkan 3 batang ukuran A, 2 batang ukuran B dan
1 batang ukuran C dan panjang 390 cm. Asep menunjuk tongkat
ukuran a, 3 batang ukuran b dan 2 batang ukuran c dengan panjang 460 cm.
Asep juga mengamati bahwa 2 ukuran tongkat sama panjangnya dengan tongkat
ukuran c
A. Tuliskan pengukuran pertama dalam persamaan matematika.
B. Masukkan hasil pengukuran kedua dan ketiga ke dalam persamaan
Matematika juga harus menghasilkan sistem persamaan.
C. Apakah sistem persamaannya merupakan sistem persamaan linier? Bagaimana
Kamu tahu?
D. Memecahkan sistem persamaan.
e. Ada berapa solusi?
Q. Berapa panjang setiap tongkat?
2. Minuman dijual dalam tiga kemasan berbeda: kecil, sedang, dan besar.
Jika Bonar membeli 3 bungkus kecil, 2 bungkus sedang dan 3 bungkus besar,
Ia mendapatkan minuman sebanyak 4.700 ml, jika Bonar membeli 3 bungkus
kecil, 1 bungkus sedang dan 2 bungkus besar dia mendapat 3.300 ml
Bonar beli 2 bungkus sedang dan 2 bungkus besar, dapat 2.800ml
minum. Berapa volume masing-masing jenis kemasan?
A. Tulislah sistem persamaan yang sesuai dengan soal
Mati.
B. Apakah sistem persamaannya merupakan sistem persamaan linear? tuliskan
Alasannya.
C. Memecahkan sistem persamaan.
D. Berapa banyak solusi yang ada? Menjelaskan.
e. Apa artinya bagi Bonar jika sistem persamaan linier ini banyak
Larutan?
132 Matematika Kelas X SMA/SMK